宇都宮大学
2012年 理系 第5問
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$A^2=O$を満たす行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$O$は零行列である．
(1) $c \neq 0$のとき，$b$を$a$と$c$を用いて表せ．
(2) $c=0$のとき，$a$と$d$の値を求めよ．
(3) $c=0$のとき，$X_1=E,\ X_{n+1}=AX_n+B \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$と定める．$n \geqq 3$のとき \[ X_1+X_2+\cdots +X_n \] を求めよ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$である．
(1) $c \neq 0$のとき，$b$を$a$と$c$を用いて表せ．
(2) $c=0$のとき，$a$と$d$の値を求めよ．
(3) $c=0$のとき，$X_1=E,\ X_{n+1}=AX_n+B \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$と定める．$n \geqq 3$のとき \[ X_1+X_2+\cdots +X_n \] を求めよ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$である．
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