筑波大学
2014年 理系 第4問
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平面上の直線$\ell$に同じ側で接する$2$つの円$C_1$,$C_2$があり,$C_1$と$C_2$も互いに外接している.$\ell$,$C_1$,$C_2$で囲まれた領域内に,これら$3$つと互いに接する円$C_3$を作る.同様に$\ell$,$C_n$,$C_{n+1} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で囲まれた領域内にあり,これら$3$つと互いに接する円を$C_{n+2}$とする.円$C_n$の半径を$r_n$とし,$\displaystyle x_n=\frac{1}{\sqrt{r_n}}$とおく.このとき,以下の問いに答えよ.ただし,$r_1=16$,$r_2=9$とする.
(1) $\ell$が$C_1$,$C_2$,$C_3$と接する点を,それぞれ$\mathrm{A}_1$,$\mathrm{A}_2$,$\mathrm{A}_3$とおく.線分$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2$,$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_3$,$\mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の長さおよび$r_3$の値を求めよ.
(2) ある定数$a,\ b$に対して$x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ.$a,\ b$の値も求めよ.
(3) $(2)$で求めた$a,\ b$に対して,$2$次方程式$t^2=at+b$の解を$\alpha,\ \beta \ \ (\alpha>\beta)$とする.$x_1=c \alpha^2+d \beta^2$を満たす有理数$c,\ d$の値を求めよ.ただし,$\sqrt{5}$が無理数であることは証明なしで用いてよい.
(4) $(3)$の$c,\ d,\ \alpha,\ \beta$に対して, \[ x_n=c \alpha^{n+1}+d \beta^{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] となることを示し,数列$\{r_n\}$の一般項を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ. \imgc{86_1824_2014_1}
(1) $\ell$が$C_1$,$C_2$,$C_3$と接する点を,それぞれ$\mathrm{A}_1$,$\mathrm{A}_2$,$\mathrm{A}_3$とおく.線分$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2$,$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_3$,$\mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の長さおよび$r_3$の値を求めよ.
(2) ある定数$a,\ b$に対して$x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ.$a,\ b$の値も求めよ.
(3) $(2)$で求めた$a,\ b$に対して,$2$次方程式$t^2=at+b$の解を$\alpha,\ \beta \ \ (\alpha>\beta)$とする.$x_1=c \alpha^2+d \beta^2$を満たす有理数$c,\ d$の値を求めよ.ただし,$\sqrt{5}$が無理数であることは証明なしで用いてよい.
(4) $(3)$の$c,\ d,\ \alpha,\ \beta$に対して, \[ x_n=c \alpha^{n+1}+d \beta^{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] となることを示し,数列$\{r_n\}$の一般項を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ. \imgc{86_1824_2014_1}
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