富山大学
2013年 薬学部 第3問
3
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実数を成分とする行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は，
\[ A^3-3A+2E=O,\quad A \neq -2E \text{かつ}a+d \neq 2 \]
を満たすとする．ただし，$E$は単位行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O$は零行列$\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$を表すとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $A$は単位行列$E$の実数倍ではないことを示せ．
(2) $a+d,\ ad-bc$の値を求めよ．
(3) $A$の逆行列を$A^{-1}$として，自然数$n$に対して，実数$p_n,\ q_n$を等式$(A^{-1})^n=p_nA+q_nE$で定める．さらに，$r_n=q_n-2p_n$とするとき，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty r_n$の和を求めよ．
(1) $A$は単位行列$E$の実数倍ではないことを示せ．
(2) $a+d,\ ad-bc$の値を求めよ．
(3) $A$の逆行列を$A^{-1}$として，自然数$n$に対して，実数$p_n,\ q_n$を等式$(A^{-1})^n=p_nA+q_nE$で定める．さらに，$r_n=q_n-2p_n$とするとき，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty r_n$の和を求めよ．
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