首都大学東京
2013年 理系 第2問
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$A,\ B,\ P$を実数を成分とする$2$次の正方行列とする．$P$は逆行列をもち，$P^{-1}AP$の$(1,\ 2)$成分と$(2,\ 1)$成分は$0$となるものとする．$P^{-1}AP=\left( \begin{array}{cc}
a_1 & 0 \\
0 & a_2
\end{array} \right)$，$P^{-1}BP=\left( \begin{array}{cc}
b_1 & b_2 \\
b_3 & b_4
\end{array} \right)$とおく．以下の問いに答えなさい．
(1) $a_1 \neq a_2$かつ$AB=BA$が成り立つとき，$b_2=b_3=0$であることを示しなさい．
(2) $A=\left( \begin{array}{cc} 0 & -2 \\ 1 & 3 \end{array} \right)$，$P=\left( \begin{array}{cc} c & 1 \\ -1 & -1 \end{array} \right)$とするとき，$a_1,\ a_2,\ c$の値を求めなさい．
(3) $A,\ P$を(2)で与えた行列とし，$B=\left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ -1 & 0 \end{array} \right)$とする．正の整数$m,\ n$に対し，$(A^m+B^m)^n$を求めなさい．
(1) $a_1 \neq a_2$かつ$AB=BA$が成り立つとき，$b_2=b_3=0$であることを示しなさい．
(2) $A=\left( \begin{array}{cc} 0 & -2 \\ 1 & 3 \end{array} \right)$，$P=\left( \begin{array}{cc} c & 1 \\ -1 & -1 \end{array} \right)$とするとき，$a_1,\ a_2,\ c$の値を求めなさい．
(3) $A,\ P$を(2)で与えた行列とし，$B=\left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ -1 & 0 \end{array} \right)$とする．正の整数$m,\ n$に対し，$(A^m+B^m)^n$を求めなさい．
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