日本女子大学
2012年 理学部 第4問
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![△ABCの辺AB上に点R,辺BC上に点P,辺CA上に点QをAR:RB=BP:PC=CQ:QA=2:1となるようにとる.線分APと線分BQの交点をX,線分BQと線分CRの交点をY,線分CRと線分APの交点をZとする.(1)ベクトルCA=ベクトルa,ベクトルCB=ベクトルbとおくとき,ベクトルAP,ベクトルBQ,ベクトルCRをベクトルa,ベクトルbで表せ.(2)ベクトルAX=kベクトルAP,ベクトルBX=ℓベクトルBQとなるk,ℓの値を求めよ.(3)線分の長さの比CZ/CRの値を求めよ.(4)△ABCの面積をS,△XYZの面積をTとするとき,T/Sの値を求めよ.](./thumb/280/2171/2012_4.png)
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$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{R}$,辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{CA}$上に点$\mathrm{Q}$を
\[ \mathrm{AR}:\mathrm{RB}=\mathrm{BP}:\mathrm{PC}=\mathrm{CQ}:\mathrm{QA}=2:1 \]
となるようにとる.線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{X}$,線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CR}$の交点を$\mathrm{Y}$,線分$\mathrm{CR}$と線分$\mathrm{AP}$の交点を$\mathrm{Z}$とする.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき,$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$,$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$,$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$で表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{AX}}=k \overrightarrow{\mathrm{AP}}$,$\overrightarrow{\mathrm{BX}}=\ell \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$となる$k$,$\ell$の値を求めよ.
(3) 線分の長さの比$\displaystyle \frac{\mathrm{CZ}}{\mathrm{CR}}$の値を求めよ.
(4) $\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$,$\triangle \mathrm{XYZ}$の面積を$T$とするとき,$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき,$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$,$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$,$\overrightarrow{\mathrm{CR}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$で表せ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{AX}}=k \overrightarrow{\mathrm{AP}}$,$\overrightarrow{\mathrm{BX}}=\ell \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$となる$k$,$\ell$の値を求めよ.
(3) 線分の長さの比$\displaystyle \frac{\mathrm{CZ}}{\mathrm{CR}}$の値を求めよ.
(4) $\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$,$\triangle \mathrm{XYZ}$の面積を$T$とするとき,$\displaystyle \frac{T}{S}$の値を求めよ.
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