信州大学
2014年 理学部 第5問
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関数$f(x)$は，$f^{\prime\prime}(x)<0$をみたすとする．$t \geqq 0$のとき，次の$(1)$，$(2)$の不等式が成り立つことを示せ．
(1) $f(0)+f^\prime(t)t \leqq f(t) \leqq f(0)+f^\prime(0)t$
(2) $\displaystyle \frac{f(0)t+f(t)t}{2} \leqq \int_0^t f(u) \, du \leqq f(0)t+\frac{f^\prime(0)}{2}t^2$
(1) $f(0)+f^\prime(t)t \leqq f(t) \leqq f(0)+f^\prime(0)t$
(2) $\displaystyle \frac{f(0)t+f(t)t}{2} \leqq \int_0^t f(u) \, du \leqq f(0)t+\frac{f^\prime(0)}{2}t^2$
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