愛知教育大学
2013年 理系 第8問
8
![Oを原点とする座標平面上を動く点Pの時刻tにおける座標P(x(t),y(t))が{\begin{array}{l}x(t)=e^tcost\y(t)=e^tsint\end{array}.で与えられている.(1)時刻tにおける点Pの速度ベクトルベクトルv_1(t)=(x´(t),y´(t))は,ある2×2行列Aによって(\begin{array}{c}x´(t)\y´(t)\end{array})=A(\begin{array}{c}x(t)\y(t)\end{array})と表すことができる.この行列Aを求めよ.(2)Pの各座標の時刻tによるn次導関数を成分とするベクトルをベクトルv_n(t)=(x^{(n)}(t),y^{(n)}(t))とおく.このとき,n≧1に対し,(\begin{array}{c}x^{(n)}(t)\y^{(n)}(t)\end{array})=A^n(\begin{array}{c}x(t)\y(t)\end{array})となることを,数学的帰納法を用いて示せ.(3)ベクトルv_{2013}(π)を求めよ.](./thumb/409/2566/2013_8.png)
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$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上を動く点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$\mathrm{P}(x(t),\ y(t))$が
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x(t)=e^t \cos t \\
y(t)=e^t \sin t
\end{array} \right. \]
で与えられている.
(1) 時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\overrightarrow{v_1}(t)=(x^\prime(t),\ y^\prime(t))$は,ある$2 \times 2$行列$A$によって \[ \left( \begin{array}{c} x^\prime(t) \\ y^\prime(t) \end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right) \] と表すことができる.この行列$A$を求めよ.
(2) $\mathrm{P}$の各座標の時刻$t$による$n$次導関数を成分とするベクトルを$\overrightarrow{v_n}(t)=(x^{(n)}(t),\ y^{(n)}(t))$とおく.このとき,$n \geqq 1$に対し, \[ \left( \begin{array}{c} x^{(n)}(t) \\ y^{(n)}(t) \end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right) \] となることを,数学的帰納法を用いて示せ.
(3) $\overrightarrow{v_{2013}}(\pi)$を求めよ.
(1) 時刻$t$における点$\mathrm{P}$の速度ベクトル$\overrightarrow{v_1}(t)=(x^\prime(t),\ y^\prime(t))$は,ある$2 \times 2$行列$A$によって \[ \left( \begin{array}{c} x^\prime(t) \\ y^\prime(t) \end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right) \] と表すことができる.この行列$A$を求めよ.
(2) $\mathrm{P}$の各座標の時刻$t$による$n$次導関数を成分とするベクトルを$\overrightarrow{v_n}(t)=(x^{(n)}(t),\ y^{(n)}(t))$とおく.このとき,$n \geqq 1$に対し, \[ \left( \begin{array}{c} x^{(n)}(t) \\ y^{(n)}(t) \end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c} x(t) \\ y(t) \end{array} \right) \] となることを,数学的帰納法を用いて示せ.
(3) $\overrightarrow{v_{2013}}(\pi)$を求めよ.
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