大阪教育大学
2012年 理系 第4問
4
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$A$を実数を成分とする行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right) \]
とし，任意の実数$x$に対して，行列$(xE-A)$を考える．ただし，$E$は$2 \times 2$の単位行列とする．相異なる実数$\alpha,\ \beta$に対して，行列$(\alpha E-A)$，$(\beta E-A)$は逆行列を持たないとき，次の問に答えよ．
(1) $\alpha+\beta=a+d,\ \alpha\beta=ad-bc$であることを示せ．また，$x \neq \alpha,\ x \neq \beta$のとき，$(xE-A)$は逆行列を持つことを示せ．
(2) $x \neq \alpha,\ x \neq \beta$のとき，$(xE-A)$の逆行列の$(i,\ j)$成分を \[ a_{ij}(x),\quad (i=1,\ 2 \;;\; j=1,\ 2) \] と表し， \[ b_{ij}=\lim_{x \to \alpha}x^2(x-\alpha)a_{ij}(x)+\lim_{x \to \beta}x^2(x-\beta)a_{ij}(x) \] とする．このとき，行列$\left( \begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array} \right)$を$A$を用いて表せ．
(1) $\alpha+\beta=a+d,\ \alpha\beta=ad-bc$であることを示せ．また，$x \neq \alpha,\ x \neq \beta$のとき，$(xE-A)$は逆行列を持つことを示せ．
(2) $x \neq \alpha,\ x \neq \beta$のとき，$(xE-A)$の逆行列の$(i,\ j)$成分を \[ a_{ij}(x),\quad (i=1,\ 2 \;;\; j=1,\ 2) \] と表し， \[ b_{ij}=\lim_{x \to \alpha}x^2(x-\alpha)a_{ij}(x)+\lim_{x \to \beta}x^2(x-\beta)a_{ij}(x) \] とする．このとき，行列$\left( \begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array} \right)$を$A$を用いて表せ．
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