放物線$C:y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$がある．ただし，$a<b$とする．放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$が囲む部分の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．
(1) $\displaystyle S=\frac{(b-a)^3}{6}$であることを示せ．
(2) $2$点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$を固定する．放物線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$に対して，放物線$C$と線分$\mathrm{AP}$が囲む部分の面積を$S_1$，放物線$C$と線分$\mathrm{BP}$が囲む部分の面積を$S_2$とする．$a<t<b$のとき，$S_1+S_2$の最小値を求めよ．
(3) 常に$\displaystyle S=\frac{9}{2}$であるように，$2$点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$が放物線$C$上を動く．このとき，線分$\mathrm{AB}$の中点の軌跡の方程式を求めよ．