琉球大学
2011年 理系 第1問
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![実数pに対して,行列A,B,CをそれぞれA=\biggl(\begin{array}{cc}0&p\\1&0\end{array}\biggr),B=\biggl(\begin{array}{cc}1&1\\0&1+p\end{array}\biggr),C=\biggl(\begin{array}{cc}1&p\\1+p&-1\end{array}\biggr)とおく.さらに,行列A_n(n=1,2,3,・・・)をA_1=A,A_{n+1}=A_nB-BA_n+C(n=1,2,3,・・・)で定める.次の問いに答えよ.(1)A_2,A_3を求めよ.(2)A_n(n=1,2,3,・・・)を推測し,その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて示せ.](./thumb/748/3103/2011_1.png)
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実数$p$に対して,行列$A,\ B,\ C$をそれぞれ
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & p \\
1 & 0
\end{array} \biggr),\quad B=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 1+p
\end{array} \biggr),\quad C=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & p \\
1+p & -1
\end{array} \biggr) \]
とおく.さらに,行列$A_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ A_1=A,\ \ A_{n+1}=A_nB-BA_n+C \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.次の問いに答えよ.
(1) $A_2,\ A_3$を求めよ.
(2) $A_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を推測し,その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて示せ.
(1) $A_2,\ A_3$を求めよ.
(2) $A_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を推測し,その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて示せ.
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