お茶の水女子大学
2014年 数学科・物理学科（共通問題） 第3問
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放物線$y=x^2$を$C$，$y=-x^2+2x+4$を$D$とする．実数$t$を用いて表される$D$上の点$\mathrm{P}(t,\ -t^2+2t+4)$における$D$の接線を$\ell$とする．
(1) $C$と$D$が異なる$2$点で交わることを示し，その$x$座標を求めよ．
(2) 接線$\ell$の方程式を$y=f(x)$とする．$f(x)$を求めよ．
(3) $(1)$で求めた$2$交点の$x$座標を$a,\ b \ \ (a<b)$とする．$a<t<b$を満たす$t$に対して，$(2)$で求めた接線$\ell$の方程式を$y=f(x)$とする．次の連立不等式の表す領域の面積を$S(t)$とする． \[ \left\{ \begin{array}{l} y \geqq x^2 \\ y \leqq f(x) \\ y \geqq -x^2+2x+4 \end{array} \right. \]
$t$が$a<t<b$の範囲を動くとき，$S(t)$が最小となる$t$の値と，そのときの$S(t)$の値を求めよ．
(1) $C$と$D$が異なる$2$点で交わることを示し，その$x$座標を求めよ．
(2) 接線$\ell$の方程式を$y=f(x)$とする．$f(x)$を求めよ．
(3) $(1)$で求めた$2$交点の$x$座標を$a,\ b \ \ (a<b)$とする．$a<t<b$を満たす$t$に対して，$(2)$で求めた接線$\ell$の方程式を$y=f(x)$とする．次の連立不等式の表す領域の面積を$S(t)$とする． \[ \left\{ \begin{array}{l} y \geqq x^2 \\ y \leqq f(x) \\ y \geqq -x^2+2x+4 \end{array} \right. \]
$t$が$a<t<b$の範囲を動くとき，$S(t)$が最小となる$t$の値と，そのときの$S(t)$の値を求めよ．
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