$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$チームが試合を行う．第$1$試合に$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．第$2$試合以降は，直前の試合に勝ったチームが残りの$1$チームと対戦することを繰り返す．最初に$2$連勝したチームを優勝とする．いずれのチームも試合に勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$であり，各試合に引き分けはないものとする．このとき，
(1) 第$5$試合で$\mathrm{A}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{\fbox{$41$}}{\fbox{$42$}\fbox{$43$}}$であり，第$6$試合で$\mathrm{C}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{\fbox{$44$}}{\fbox{$45$}\fbox{$46$}}$である．
(2) 第$6$試合もしくはそれ以前に$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が優勝する確率は，それぞれ$\displaystyle \frac{\fbox{$47$}\fbox{$48$}}{\fbox{$49$}\fbox{$50$}}$，$\displaystyle \frac{\fbox{$51$}}{\fbox{$52$}\fbox{$53$}}$である．
(3) $\mathrm{A}$が第$1$試合で勝ち，かつ$\mathrm{A}$が第$3n$試合もしくはそれ以前に優勝する確率を$n$の式で表すと，$\displaystyle \frac{\fbox{$54$}}{\fbox{$55$}} \left\{ \fbox{$56$}-\left( \frac{\fbox{$57$}}{\fbox{$58$}} \right)^n \right\}$である．ただし，$n$は自然数とする．