北海学園大学
2010年 理系 第4問
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三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{CA}=3$とする.この三角形の外接円の中心を$\mathrm{O}$,辺$\mathrm{AB}$と$\mathrm{CA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$,$\mathrm{N}$とする.また,$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$,$\angle \mathrm{CAB}=\theta$とする.ただし,$s,\ t$は実数とする.
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$s$,$t$の式で表せ.また,内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$\theta$の式で表せ.
(2) $\mathrm{BC}=4$のとき,$\cos \theta$,$s$,$t$の値をそれぞれ求めよ.
(3) $\displaystyle s=\frac{2}{3}$のとき,$t$と$\cos \theta$の値を求めよ.
(1) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$s$,$t$の式で表せ.また,内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$\theta$の式で表せ.
(2) $\mathrm{BC}=4$のとき,$\cos \theta$,$s$,$t$の値をそれぞれ求めよ.
(3) $\displaystyle s=\frac{2}{3}$のとき,$t$と$\cos \theta$の値を求めよ.
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