豊橋技術科学大学
2015年 工学部 第3問
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二次関数$f(x)=x^2+ax+b$に関する以下の問いに答えよ.ただし,関数$f(x)$の導関数を$f^\prime(x)$とする.
【補足説明】$(2)$~$(5)$は,$(1)$で得られた$f(x)$を用いて解答すること.
(1) $f(x)$が$2f(x)=xf^\prime(x)+6$を満たすとき,$a=0$,$b=3$となることを示せ.
(2) 点$(0,\ -1)$から曲線$y=f(x)$に引いた$2$本の接線が,$L_1:y=4x-1$,$L_2:y=-4x-1$になることを示せ.
(3) $2$本の接線$L_1,\ L_2$のなす角のうち鋭角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$の値を求めよ.
(4) 曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1,\ L_2$で囲まれた部分の面積を求めよ.
(5) 曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1,\ L_2$で囲まれた部分を,$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ.
【補足説明】$(2)$~$(5)$は,$(1)$で得られた$f(x)$を用いて解答すること.
(1) $f(x)$が$2f(x)=xf^\prime(x)+6$を満たすとき,$a=0$,$b=3$となることを示せ.
(2) 点$(0,\ -1)$から曲線$y=f(x)$に引いた$2$本の接線が,$L_1:y=4x-1$,$L_2:y=-4x-1$になることを示せ.
(3) $2$本の接線$L_1,\ L_2$のなす角のうち鋭角を$\theta$とするとき,$\cos \theta$の値を求めよ.
(4) 曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1,\ L_2$で囲まれた部分の面積を求めよ.
(5) 曲線$y=f(x)$と$2$本の接線$L_1,\ L_2$で囲まれた部分を,$y$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ.
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