関西学院大学
2011年 理系学部 第2問
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座標空間において,原点を$\mathrm{O}$とし,点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$をとる.また,$xy$平面上にあり,中心が原点,半径が$1$の円を$C$とするとき,以下の問いに答えよ.
(1) $C$の$y \geqq 0$の部分にある点$\mathrm{P}$について$\angle \mathrm{AOP}=t \ \ (0 \leqq t \leqq \pi)$とする.このとき,点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ.
(2) 点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を満たす点とし,点$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 1,\ 1)$をとる.このとき,内積$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$を求めよ.また,$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2=m-n \sin (t+\alpha)$となるような定数$\displaystyle m,\ n,\ \alpha \ \ \left( \text{ただし,} \ \ 0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ.
(3) $\angle \mathrm{PBQ}=\theta$とおくとき,$\cos \theta$の最大値と最小値,およびそれらのときの$t$の値を求めよ.
(4) $\cos \theta$が上で求めた最小値をとるとき,三角形$\mathrm{PBQ}$の面積を求めよ.
(1) $C$の$y \geqq 0$の部分にある点$\mathrm{P}$について$\angle \mathrm{AOP}=t \ \ (0 \leqq t \leqq \pi)$とする.このとき,点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ.
(2) 点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を満たす点とし,点$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 1,\ 1)$をとる.このとき,内積$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$を求めよ.また,$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2=m-n \sin (t+\alpha)$となるような定数$\displaystyle m,\ n,\ \alpha \ \ \left( \text{ただし,} \ \ 0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ.
(3) $\angle \mathrm{PBQ}=\theta$とおくとき,$\cos \theta$の最大値と最小値,およびそれらのときの$t$の値を求めよ.
(4) $\cos \theta$が上で求めた最小値をとるとき,三角形$\mathrm{PBQ}$の面積を求めよ.
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