早稲田大学
2011年 基幹理工・創造理工・先進理工 第3問
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![f(x)=\frac{logx}{x}とする.以下の問に答えよ.(1)y=f(x)のグラフの概形を次の点に注意して描け:f(x)の増減,グラフの凹凸,x→+0,x→∞のときのf(x)の挙動.(2)nを自然数とする.k=1,2,・・・,nに対してxがe^{\frac{k-1}{n}}≦x≦e^{k/n}を動くときのf(x)の最大値をM_k,最小値をm_kとし,A_n=Σ_{k=1}^nM_k(e^{k/n}-e^{\frac{k-1}{n}})B_n=Σ_{k=1}^nm_k(e^{k/n}-e^{\frac{k-1}{n}})とおく.A_n,B_nを求めよ.(3)\lim_{n→∞}A_nおよび\lim_{n→∞}B_n求めよ.(4)各nに対してB_n<∫_1^ef(x)dx<A_nであることを示せ.](./thumb/304/14/2011_3.png)
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$f(x)=\displaystyle\frac{\log x}{x}$とする.以下の問に答えよ.
(1) $y=f(x)$のグラフの概形を次の点に注意して描け:$f(x)$の増減,グラフの凹凸,$x$→$+0$,$x$→$\infty$のときの$f(x)$の挙動.
(2) $n$を自然数とする.$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対して$x$が$\displaystyle e^{\frac{k-1}{n}} \leqq x \leqq e^{\frac{k}{n}}$を動くときの$f(x)$の最大値を$M_k$,最小値を$m_k$とし, \[ A_n = \sum_{k=1}^n M_k(e^{\frac{k}{n}}- e^{\frac{k-1}{n}}) \] \[ B_n = \sum_{k=1}^n m_k(e^{\frac{k}{n}}- e^{\frac{k-1}{n}}) \] とおく.$A_n,\ B_n$を求めよ.
(3) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} A_n$および$\displaystyle\lim_{n \to \infty} B_n$求めよ.
(4) 各$n$に対して$\displaystyle B_n < \int_1^e f(x)\, dx < A_n$であることを示せ.
(1) $y=f(x)$のグラフの概形を次の点に注意して描け:$f(x)$の増減,グラフの凹凸,$x$→$+0$,$x$→$\infty$のときの$f(x)$の挙動.
(2) $n$を自然数とする.$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対して$x$が$\displaystyle e^{\frac{k-1}{n}} \leqq x \leqq e^{\frac{k}{n}}$を動くときの$f(x)$の最大値を$M_k$,最小値を$m_k$とし, \[ A_n = \sum_{k=1}^n M_k(e^{\frac{k}{n}}- e^{\frac{k-1}{n}}) \] \[ B_n = \sum_{k=1}^n m_k(e^{\frac{k}{n}}- e^{\frac{k-1}{n}}) \] とおく.$A_n,\ B_n$を求めよ.
(3) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} A_n$および$\displaystyle\lim_{n \to \infty} B_n$求めよ.
(4) 各$n$に対して$\displaystyle B_n < \int_1^e f(x)\, dx < A_n$であることを示せ.
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