聖マリアンナ医科大学
2015年 医学部 第1問
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以下の$(1)$~$(4)$の$\fbox{$1$}$~$\fbox{$4$}$に適切な値を答えなさい.ただし,$e$は自然対数の底とする.
(1) $A=e^2$とするとき, \[ 8 \left( 1+\cos^3 \frac{\pi}{18} \right) \log_A e-\frac{3}{2} \left( 1+\cos \frac{\pi}{18} \right) \log_e A=\fbox{$1$} \] である.
(2) $b$を正の定数,$x$を正の実数とする.方程式$\log_e x=bx$が異なる$2$つの実数解をもつのは$0<b<\fbox{$2$}$のときである.
(3) 数列$\{c_n\} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を,初項$1$,公差$2$の等差数列とする.数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$に対して$T_n=\log_e S_n$,$U_n=e^{T_n}$と定義する.数列$\{U_n\}$の初項から第$24$項までの和の値は$\fbox{$3$}$となる.
(4) 定積分$\displaystyle \int_0^D \frac{2e^x}{2e^x+3} \, dx$の値は$\fbox{$4$}$である.ただし,$D=\log_e 3$とする.
(1) $A=e^2$とするとき, \[ 8 \left( 1+\cos^3 \frac{\pi}{18} \right) \log_A e-\frac{3}{2} \left( 1+\cos \frac{\pi}{18} \right) \log_e A=\fbox{$1$} \] である.
(2) $b$を正の定数,$x$を正の実数とする.方程式$\log_e x=bx$が異なる$2$つの実数解をもつのは$0<b<\fbox{$2$}$のときである.
(3) 数列$\{c_n\} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を,初項$1$,公差$2$の等差数列とする.数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$に対して$T_n=\log_e S_n$,$U_n=e^{T_n}$と定義する.数列$\{U_n\}$の初項から第$24$項までの和の値は$\fbox{$3$}$となる.
(4) 定積分$\displaystyle \int_0^D \frac{2e^x}{2e^x+3} \, dx$の値は$\fbox{$4$}$である.ただし,$D=\log_e 3$とする.
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