岐阜大学
2014年 文系 第5問
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![数列{a_n}をa_1=3/4,a_{n+1}=1-\frac{1}{4a_n}(n=1,2,3,・・・)で定める.以下の問に答えよ.(1)a_2,a_3,a_4,a_5,a_6を求めよ.また,それより一般項a_nを推定せよ.(2)数学的帰納法により,(1)の一般項の推定が正しいことを証明せよ.(3)nを正の整数とする.すべての実数xに対して,不等式a_nx^2+x+1≧a_{n+1}が成り立つことを示せ.(4)nを正の整数とする.すべての実数xに対して,不等式x^{2n}+x^{2n-1}+x^{2n-2}+・・・+x^2+x+1≧a_nが成り立つことを示せ.](./thumb/385/2484/2014_5.png)
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数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=\frac{3}{4},\quad a_{n+1}=1-\frac{1}{4a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.以下の問に答えよ.
(1) $a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5,\ a_6$を求めよ.また,それより一般項$a_n$を推定せよ.
(2) 数学的帰納法により,$(1)$の一般項の推定が正しいことを証明せよ.
(3) $n$を正の整数とする.すべての実数$x$に対して,不等式 \[ a_nx^2+x+1 \geqq a_{n+1} \] が成り立つことを示せ.
(4) $n$を正の整数とする.すべての実数$x$に対して,不等式 \[ x^{2n}+x^{2n-1}+x^{2n-2}+\cdots +x^2+x+1 \geqq a_n \] が成り立つことを示せ.
(1) $a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5,\ a_6$を求めよ.また,それより一般項$a_n$を推定せよ.
(2) 数学的帰納法により,$(1)$の一般項の推定が正しいことを証明せよ.
(3) $n$を正の整数とする.すべての実数$x$に対して,不等式 \[ a_nx^2+x+1 \geqq a_{n+1} \] が成り立つことを示せ.
(4) $n$を正の整数とする.すべての実数$x$に対して,不等式 \[ x^{2n}+x^{2n-1}+x^{2n-2}+\cdots +x^2+x+1 \geqq a_n \] が成り立つことを示せ.
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