筑波大学
2011年 理系 第5問
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![実数を成分とする行列A=\biggl(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\biggr)を考える.座標平面上の2点P(x,y),Q(u,v)について等式\biggl(\begin{array}{c}u\\v\end{array}\biggr)=A\biggl(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\biggr)が成り立つとき,行列Aにより点Pは点Qに移るという.\\点(1,3)は行列Aにより点(10,10)に移り,さらに等式A^2-7A+10E=Oが成り立つものとする.ただし,E=\biggl(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\biggr),O=\biggl(\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}\biggr)である.このとき,以下の問いに答えよ.(1)行列Aにより点(10,10)が移る点の座標を求めよ.(2)実数a,b,c,dの値を求めよ.(3)次の条件(*)を満たす直線ℓの方程式を求めよ.\\(*)直線ℓ上のすべての点が行列Aによりℓ上の点に移る.](./thumb/86/1831/2011_5.png)
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実数を成分とする行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$を考える.座標平面上の2点P$(x,\ y)$,Q$(u,\ v)$について等式
\[ \biggl( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \biggr) = A \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr) \]
が成り立つとき,行列$A$により点Pは点Qに移るという. \\
\quad 点$(1,\ 3)$は行列$A$により点$(10,\ 10)$に移り,さらに等式
\[ A^2-7A+10E=O \]
が成り立つものとする.ただし,$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$である.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 行列$A$により点$(10,\ 10)$が移る点の座標を求めよ.
(2) 実数$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ.
(3) 次の条件$(\ast)$を満たす直線$\ell$の方程式を求めよ. \\ $(\ast)$ \ 直線$\ell$上のすべての点が行列$A$により$\ell$上の点に移る.
(1) 行列$A$により点$(10,\ 10)$が移る点の座標を求めよ.
(2) 実数$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ.
(3) 次の条件$(\ast)$を満たす直線$\ell$の方程式を求めよ. \\ $(\ast)$ \ 直線$\ell$上のすべての点が行列$A$により$\ell$上の点に移る.
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