長岡技術科学大学
2010年 工学部 第1問
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![平面上の点P_n,Q_n(n=1,2,3,・・・)を次のように定める.\\P_1(0,0),Q_1(0,1)とする.P_n,Q_nが定められているとして,Q_nを中心にP_nを時計回りにπ/2回転させた点をP_{n+1}とする.さらに,P_{n+1}を中心にQ_nを反時計回りにπ/2回転させた点とP_{n+1}の中点をQ_{n+1}とする.このとき,以下の問いに答えなさい.(1)P_2,P_3の座標を求めなさい.(2)すべてのP_nを通る直線の方程式を求めなさい.(3)線分P_nQ_nの長さをnの式で表しなさい.(4)P_nのx座標をx_nとおく.x_nをnの式で表しなさい.(5)\lim_{n→∞}x_nを求めなさい.](./thumb/336/916/2010_1.png)
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平面上の点P$_n$,Q$_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める. \\
P$_1(0,\ 0)$,Q$_1(0,\ 1)$とする. P$_n$,Q$_n$が定められているとして,Q$_n$を中心にP$_n$を時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた点をP$_{n+1}$とする.さらに,P$_{n+1}$を中心にQ$_n$を反時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた点とP$_{n+1}$の中点をQ$_{n+1}$とする.このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) P$_2$,P$_3$の座標を求めなさい.
(2) すべてのP$_n$を通る直線の方程式を求めなさい.
(3) 線分P$_n$Q$_n$の長さを$n$の式で表しなさい.
(4) P$_n$の$x$座標を$x_n$とおく.$x_n$を$n$の式で表しなさい.
(5) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めなさい.
(1) P$_2$,P$_3$の座標を求めなさい.
(2) すべてのP$_n$を通る直線の方程式を求めなさい.
(3) 線分P$_n$Q$_n$の長さを$n$の式で表しなさい.
(4) P$_n$の$x$座標を$x_n$とおく.$x_n$を$n$の式で表しなさい.
(5) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めなさい.
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