千葉大学
2011年 教育学部(算数・技術) 第9問
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$r$は$0<r<1$を満たす実数とする.座標平面上に1辺の長さが$r^n$の正方形$R_n \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$があり,その頂点を反時計回りに$\mathrm{A}_n$,$\mathrm{B}_n$,$\mathrm{C}_n$,$\mathrm{D}_n$とする.さらに$R_n$は次の条件$\tokeiichi,\ \tokeini$を満たすとする.
(ⅰ) 正方形$R_0$の頂点は$\mathrm{A}_0(0,\ 0)$,$\mathrm{B}_0(1,\ 0)$,$\mathrm{C}_0(1,\ 1)$,$\mathrm{D}_0(0,\ 1)$である.
(ⅱ) $\mathrm{A}_{n+1}=\mathrm{C}_n$で,点$\mathrm{D}_{n+1}$は辺$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$上にある.
このとき以下の問いに答えよ.
(1) 点$\mathrm{A}_2,\ \mathrm{A}_3,\ \mathrm{A}_4$の座標を$r$を用いて表せ.
(2) $\mathrm{A}_{4n}$の座標を$(x_n,\ y_n) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく.$x_{n+1}-x_n$および$y_{n+1}-y_n$を$r,\ n$の式で表せ.
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$を$r$を用いて表せ.
(ⅰ) 正方形$R_0$の頂点は$\mathrm{A}_0(0,\ 0)$,$\mathrm{B}_0(1,\ 0)$,$\mathrm{C}_0(1,\ 1)$,$\mathrm{D}_0(0,\ 1)$である.
(ⅱ) $\mathrm{A}_{n+1}=\mathrm{C}_n$で,点$\mathrm{D}_{n+1}$は辺$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$上にある.
このとき以下の問いに答えよ.
(1) 点$\mathrm{A}_2,\ \mathrm{A}_3,\ \mathrm{A}_4$の座標を$r$を用いて表せ.
(2) $\mathrm{A}_{4n}$の座標を$(x_n,\ y_n) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく.$x_{n+1}-x_n$および$y_{n+1}-y_n$を$r,\ n$の式で表せ.
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$を$r$を用いて表せ.
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