千葉大学
2014年 理学部（数学・情報数理） 第6問
6
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自然数$n$に対して，和
\[ S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \]
を考える．
(1) 各自然数$n$に対して$2^k \leqq n$をみたす最大の整数$k$を$f(n)$で表すとき，$2$つの奇数$a_n,\ b_n$が存在して \[ S_n=\frac{a_n}{2^{f(n)}b_n} \] と表されることを示せ．
(2) $n \geqq 2$のとき$S_n$は整数にならないことを示せ．
(3) さらに，自然数$m,\ n \ \ (m<n)$に対して，和 \[ S_{m,n}=\frac{1}{m}+\frac{1}{m+1}+\cdots +\frac{1}{n} \] を考える．$S_{m,n}$はどんな$m,\ n \ \ (m<n)$に対しても整数にならないことを示せ．
(1) 各自然数$n$に対して$2^k \leqq n$をみたす最大の整数$k$を$f(n)$で表すとき，$2$つの奇数$a_n,\ b_n$が存在して \[ S_n=\frac{a_n}{2^{f(n)}b_n} \] と表されることを示せ．
(2) $n \geqq 2$のとき$S_n$は整数にならないことを示せ．
(3) さらに，自然数$m,\ n \ \ (m<n)$に対して，和 \[ S_{m,n}=\frac{1}{m}+\frac{1}{m+1}+\cdots +\frac{1}{n} \] を考える．$S_{m,n}$はどんな$m,\ n \ \ (m<n)$に対しても整数にならないことを示せ．
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