袋$\mathrm{A}$には白玉$3$個，黒玉$4$個，袋$\mathrm{B}$には白玉$3$個，黒玉$2$個が入っている．このとき，次の操作$(\ast)$を行う．
[$(\ast)$] はじめに袋$\mathrm{A}$から$1$個の玉を取り出して袋$\mathrm{B}$に入れ，そのあとよくかき混ぜてから，袋$\mathrm{B}$から$1$個の玉を取り出して袋$\mathrm{A}$に入れる．
次の問いに答えよ．
(1) 操作$(\ast)$のあとで，袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出すとき，それが白玉である確率を求めよ．
(2) 操作$(\ast)$のあとで，袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出したら白玉であったという条件のもとで，袋$\mathrm{B}$の中の白玉が$2$個である確率を求めよ．
(3) 操作$(\ast)$のあとで，$1$枚の硬貨を投げて，表が出たら袋$\mathrm{A}$にだけ白玉を$1$個入れ，裏が出たら袋$\mathrm{B}$にだけ白玉$1$個を入れる．このとき，袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出したら白玉であったという条件のもとで，白玉が入れられたのは袋$\mathrm{A}$である確率を求めよ．