岐阜薬科大学
2015年 薬学部 第4問
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\begin{mawarikomi}{50mm}{
\imgc{387_2293_2015_2}
}
$2$つずつ平行な$3$組の平面で囲まれた立体を平行六面体という.平行六面体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$があり,
\[ l \overrightarrow{\mathrm{PB}}+m \overrightarrow{\mathrm{PD}}+n \overrightarrow{\mathrm{PE}}=\overrightarrow{\mathrm{GP}} \]
を満たす点$\mathrm{P}$が存在している.ただし,$l+m+n+1 \neq 0$とする.次の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を,$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を用いて表せ.
(2) 点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AG}$上にあるとき,$l,\ m,\ n$が満たす条件を求めよ.
(3) 点$\mathrm{Q}$が$\triangle \mathrm{BDE}$を含む平面上にある.$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=x \overrightarrow{\mathrm{AB}}+y \overrightarrow{\mathrm{AD}}+z \overrightarrow{\mathrm{AE}}$とするとき,$x,\ y,\ z$が満たす条件を求めよ.
(4) 四面体$\mathrm{ABDE}$の体積と四面体$\mathrm{PBDE}$の体積が$2:1$になるとき,$l,\ m,\ n$が満たす条件を求めよ.また,点$\mathrm{P}$がこの条件を満たし,かつ,線分$\mathrm{AG}$上にあるとき,$l,\ m,\ n$の値を求めよ.
\end{mawarikomi}
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を,$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$,$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を用いて表せ.
(2) 点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AG}$上にあるとき,$l,\ m,\ n$が満たす条件を求めよ.
(3) 点$\mathrm{Q}$が$\triangle \mathrm{BDE}$を含む平面上にある.$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=x \overrightarrow{\mathrm{AB}}+y \overrightarrow{\mathrm{AD}}+z \overrightarrow{\mathrm{AE}}$とするとき,$x,\ y,\ z$が満たす条件を求めよ.
(4) 四面体$\mathrm{ABDE}$の体積と四面体$\mathrm{PBDE}$の体積が$2:1$になるとき,$l,\ m,\ n$が満たす条件を求めよ.また,点$\mathrm{P}$がこの条件を満たし,かつ,線分$\mathrm{AG}$上にあるとき,$l,\ m,\ n$の値を求めよ.
\end{mawarikomi}
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