北海道大学
2010年 理系 第4問
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$0 \leqq x \leqq 1$に対して
\[ f(x)=\int_0^1 e^{-|t-x|}t(1-t) \, dt \]
と定める．ただし，$e=2.718 \cdots$は自然対数の底である．
(1) 不定積分$\displaystyle I_1=\int te^t \, dt,\ I_2=\int t^2e^t \, dt$を求めよ．
(2) $f(x)$を$x$の指数関数と多項式を用いて表せ．
(3) $f(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で極大となることを示せ．
(1) 不定積分$\displaystyle I_1=\int te^t \, dt,\ I_2=\int t^2e^t \, dt$を求めよ．
(2) $f(x)$を$x$の指数関数と多項式を用いて表せ．
(3) $f(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で極大となることを示せ．
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