$\displaystyle a_n = \frac{1}{n(n+1)}$を第$n$項とする数列を，次のように奇数個ずつの群に分ける． \begin{eqnarray} & & \ \ \{a_1\},\quad \{a_2,\ a_3,\ a_4 \},\quad \{a_5,\ a_6,\ a_7,\ a_8,\ a_9\},\ \cdots \quad \nonumber \\ & & \text{第$1$群} \qquad \ \text{第$2$群} \qquad \qquad \quad \ \text{第$3$群} \nonumber \end{eqnarray} $k$を自然数として，以下の問いに答えよ．
(1) 第$k$群の最初の項を求めよ．
(2) 第$k$群に含まれるすべての項の和$S_k$を求めよ．
(3) $\displaystyle (k^2+1)S_k \leqq \frac{1}{100}$を満たす最小の自然数$k$を求めよ．