北海道大学
2010年 理系 第3問
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正の実数$r$と$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$の範囲の実数$\theta$に対して
\[ a_0 = r \cos \theta,\quad b_0 = r \]
とおく．$a_n,\ b_n \ (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を漸化式
\[ a_n = \frac{a_{n-1} +b_{n-1}}{2},\quad b_n = \sqrt{a_nb_{n-1}} \]
により定める．以下の問いに答えよ．
(1) $\displaystyle \frac{a_1}{b_1},\ \frac{a_2}{b_2}$を$\theta$で表せ．
(2) $\displaystyle \frac{a_n}{b_n}$を$n$と$\theta$で表せ．
(3) $\theta \neq 0$のとき \[ \lim_{n \to \infty} a_n= \lim_{n \to \infty} b_n = \frac{r\sin \theta}{\theta} \] を示せ．
(1) $\displaystyle \frac{a_1}{b_1},\ \frac{a_2}{b_2}$を$\theta$で表せ．
(2) $\displaystyle \frac{a_n}{b_n}$を$n$と$\theta$で表せ．
(3) $\theta \neq 0$のとき \[ \lim_{n \to \infty} a_n= \lim_{n \to \infty} b_n = \frac{r\sin \theta}{\theta} \] を示せ．
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