空間の$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 3)$を通る直線を$\ell$とし，$2$点$\mathrm{C}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{D}(1,\ 0,\ 1)$を通る直線を$m$とする．$a$を定数として，$\ell$上にも$m$上にもない点$\mathrm{P}(s,\ t,\ a)$を考える．
(1) $\mathrm{P}$から$\ell$に下ろした垂線と$\ell$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$から$m$に下ろした垂線と$m$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標をそれぞれ$s,\ t,\ a$を用いて表せ．
(2) $\mathrm{P}$を中心とし，$\ell$と$m$がともに接するような球面が存在するための条件を$s,\ t,\ a$の関係式で表せ．
(3) $s,\ t$と定数$a$が$(2)$の条件をみたすとき，平面上の点$(s,\ t)$の軌跡が放物線であることを示し，その焦点と準線を$a$を用いて表せ．