北海道大学
2016年 理系 第4問
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次の問いに答えよ．
(1) 次の方程式が異なる$3$つの$0$でない実数解をもつことを示せ． \[ x^3+x^2-2x-1=0 \quad \cdots \quad \maruichi \]
(2) 方程式$\maruichi$の$3$つの実数解を$s,\ t,\ u$とし，数列$\{a_n\}$を \[ a_n=\frac{s^{n-1}}{(s-t)(s-u)}+\frac{t^{n-1}}{(t-u)(t-s)}+\frac{u^{n-1}}{(u-s)(u-t)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] によって定める．このとき， \[ a_{n+3}+a_{n+2}-2a_{n+1}-a_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] が成り立つことを示せ．
(3) $(2)$の$a_n$がすべて整数であることを示せ．
(1) 次の方程式が異なる$3$つの$0$でない実数解をもつことを示せ． \[ x^3+x^2-2x-1=0 \quad \cdots \quad \maruichi \]
(2) 方程式$\maruichi$の$3$つの実数解を$s,\ t,\ u$とし，数列$\{a_n\}$を \[ a_n=\frac{s^{n-1}}{(s-t)(s-u)}+\frac{t^{n-1}}{(t-u)(t-s)}+\frac{u^{n-1}}{(u-s)(u-t)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] によって定める．このとき， \[ a_{n+3}+a_{n+2}-2a_{n+1}-a_n=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] が成り立つことを示せ．
(3) $(2)$の$a_n$がすべて整数であることを示せ．
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