北海道大学
2015年 理系 第5問
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$n$は自然数，$a$は$\displaystyle a>\frac{3}{2}$をみたす実数とし，実数$x$の関数
\[ f(x)=\int_0^x (x-\theta)(a \sin^{n+1}\theta-\sin^{n-1}\theta) \, d\theta \]
を考える．ただし，$n=1$のときは$\sin^{n-1}\theta=1$とする．
(1) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1} \theta \, d\theta=\frac{n}{n+1}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta \, d\theta$を示せ．
(2) $\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)=0$をみたす$n$と$a$の値を求めよ．
(3) $(2)$で求めた$n$と$a$に対して，$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ．
(1) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+1} \theta \, d\theta=\frac{n}{n+1}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-1}\theta \, d\theta$を示せ．
(2) $\displaystyle f^\prime \left( \frac{\pi}{2} \right)=0$をみたす$n$と$a$の値を求めよ．
(3) $(2)$で求めた$n$と$a$に対して，$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ．
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