北海道大学
2014年 理系 第3問
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逆行列をもつ$2$次の正方行列，$A_1,\ A_2,\ A_3,\ \cdots$が，関係式
\[ A_{n+1}A_n=A_n+2E \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．さらに$A_1+E$は逆行列をもつとする．ここで$E$は$2$次の単位行列とする．
(1) すべての自然数$n$に対して$A_n+E$は逆行列をもち， \[ (A_{n+1}+E)^{-1}=\frac{1}{2}A_n(A_n+E)^{-1} \] が成立することを示せ．
(2) $B_n=(2E-A_n)(A_n+E)^{-1}$により，行列$B_n$を定める．$B_{n+1}$と$B_n$との間に成立する関係式を求め，$B_n$を$B_1$と$n$を用いて表せ．
(1) すべての自然数$n$に対して$A_n+E$は逆行列をもち， \[ (A_{n+1}+E)^{-1}=\frac{1}{2}A_n(A_n+E)^{-1} \] が成立することを示せ．
(2) $B_n=(2E-A_n)(A_n+E)^{-1}$により，行列$B_n$を定める．$B_{n+1}$と$B_n$との間に成立する関係式を求め，$B_n$を$B_1$と$n$を用いて表せ．
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