山形大学
2015年 理学部(物理) 第1問
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二つの放物線
$C_1:y=x^2$
$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{2}(x-a)^2+b$
がある.ただし,$a,\ b$は実数であり,$b>0$とする.以下の問いに答えよ.
(1) 放物線$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$における接線$\ell$の方程式を求めよ.
(2) 接線$\ell$が$C_2$にも接する場合の$p$を$a$と$b$を用いて表せ.
(3) $(2)$より$C_1,\ C_2$の両方に接する直線が$2$本存在することがわかる.この二つの直線の交点$\mathrm{Q}$の座標を$a$と$b$を用いて表せ.
(4) 放物線$C_2$の頂点が曲線$y=e^{-2x^2}$上を動くとき,交点$\mathrm{Q}$の軌跡を$y=f(x)$で表す.関数$f(x)$を求めよ.また$f(x)$の増減と凹凸を調べ軌跡の概形をかけ.
$C_1:y=x^2$
$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{2}(x-a)^2+b$
がある.ただし,$a,\ b$は実数であり,$b>0$とする.以下の問いに答えよ.
(1) 放物線$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$における接線$\ell$の方程式を求めよ.
(2) 接線$\ell$が$C_2$にも接する場合の$p$を$a$と$b$を用いて表せ.
(3) $(2)$より$C_1,\ C_2$の両方に接する直線が$2$本存在することがわかる.この二つの直線の交点$\mathrm{Q}$の座標を$a$と$b$を用いて表せ.
(4) 放物線$C_2$の頂点が曲線$y=e^{-2x^2}$上を動くとき,交点$\mathrm{Q}$の軌跡を$y=f(x)$で表す.関数$f(x)$を求めよ.また$f(x)$の増減と凹凸を調べ軌跡の概形をかけ.
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