立教大学
2011年 文系 第3問
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座標平面上の点$\mathrm{A}(1,\ 1)$を中心とする円$(x-1)^2+(y-1)^2=1$上を,点$\mathrm{P}_0(2,\ 1)$から出発して一定の速度で反時計回りに動く点$\mathrm{P}$と,座標平面上の点$\mathrm{B}(-1,\ -1)$を中心とするもう$1$つの円$(x+1)^2+(y+1)^2=1$上を,点$\mathrm{Q}_0(-1,\ 0)$から出発して反時計回りに動く点$\mathrm{Q}$について考える.点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が各円周上を進む速度は等しいものとする.このとき,次の問に答えよ.
(1) 図に示すように$\angle \mathrm{P}_0 \mathrm{AP}$ならびに$\angle \mathrm{Q}_0 \mathrm{BQ}$を$\theta$とするとき,点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$それぞれの座標を$\theta$を用いて表せ.
(2) 線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と,そのときの点$\mathrm{P}$の位置$\mathrm{P}_1$と点$\mathrm{Q}$の位置$\mathrm{Q}_1$それぞれの座標を求めよ.また,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値と,そのときの点$\mathrm{P}$の位置$\mathrm{P}_2$と点$\mathrm{Q}$の位置$\mathrm{Q}_2$それぞれの座標を求めよ.
(3) $(2)$で求めた$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$について,$4$点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$,$\mathrm{P}_2$がつくる四角形の面積を求めよ. \imgc{300_395_2011_1}
(1) 図に示すように$\angle \mathrm{P}_0 \mathrm{AP}$ならびに$\angle \mathrm{Q}_0 \mathrm{BQ}$を$\theta$とするとき,点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$それぞれの座標を$\theta$を用いて表せ.
(2) 線分$\mathrm{PQ}$の長さの最大値と,そのときの点$\mathrm{P}$の位置$\mathrm{P}_1$と点$\mathrm{Q}$の位置$\mathrm{Q}_1$それぞれの座標を求めよ.また,線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値と,そのときの点$\mathrm{P}$の位置$\mathrm{P}_2$と点$\mathrm{Q}$の位置$\mathrm{Q}_2$それぞれの座標を求めよ.
(3) $(2)$で求めた$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_2$,$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$について,$4$点$\mathrm{P}_1$,$\mathrm{Q}_1$,$\mathrm{Q}_2$,$\mathrm{P}_2$がつくる四角形の面積を求めよ. \imgc{300_395_2011_1}
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