大阪薬科大学
2015年 薬学部 第2問
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次の問いに答えなさい.
$a,\ b$を正の実数の定数とし,$2$次関数$f(x)=3x^2+ax+b$を考える.$xy$座標平面上の放物線$y=f(x)$を$C$とし,$C$上の点$(1,\ f(1))$における接線を$\ell$とする.また,$\ell$を$y$軸方向に$3$だけ平行移動した直線を$m$とする.
(1) $C$の頂点の$y$座標を$q$とするとき,$q$は,$a$と$b$を用いて表すと$q=\fbox{$\mathrm{E}$}$である.
(2) $C$と$m$で囲まれる部分の面積$S$の値は$S=\fbox{$\mathrm{F}$}$である.
(3) $\ell$と$x$軸の交点の$x$座標を$r$とする.このとき,$r$は,$a$と$b$を用いて表すと$r=\fbox{$\mathrm{G}$}$である.また,大小$2$個のさいころを投げ,大きいさいころの出た目の数を$a$の値,小さいさいころの出た目の数を$b$の値とするとき,$\displaystyle 0 \leqq r \leqq \frac{1}{6}$である確率$P$の値は$P=\fbox{$\mathrm{H}$}$である.ただし,大小$2$個のさいころはそれぞれ$1$から$6$までの目が同様に確からしく出るとする.
(4) $C$と$x$軸の共有点が$2$個であるとき,その共有点の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とする($\alpha<\beta$).$C$と$x$軸の共有点が$2$個であり,かつ$a,\ b$それぞれが$1 \leqq a \leqq 6$,$1 \leqq b \leqq 6$を満たす整数であるとき,$\alpha^2+\beta^2$のとり得る値の最大値と最小値を$\fbox{い}$で求めなさい.
$a,\ b$を正の実数の定数とし,$2$次関数$f(x)=3x^2+ax+b$を考える.$xy$座標平面上の放物線$y=f(x)$を$C$とし,$C$上の点$(1,\ f(1))$における接線を$\ell$とする.また,$\ell$を$y$軸方向に$3$だけ平行移動した直線を$m$とする.
(1) $C$の頂点の$y$座標を$q$とするとき,$q$は,$a$と$b$を用いて表すと$q=\fbox{$\mathrm{E}$}$である.
(2) $C$と$m$で囲まれる部分の面積$S$の値は$S=\fbox{$\mathrm{F}$}$である.
(3) $\ell$と$x$軸の交点の$x$座標を$r$とする.このとき,$r$は,$a$と$b$を用いて表すと$r=\fbox{$\mathrm{G}$}$である.また,大小$2$個のさいころを投げ,大きいさいころの出た目の数を$a$の値,小さいさいころの出た目の数を$b$の値とするとき,$\displaystyle 0 \leqq r \leqq \frac{1}{6}$である確率$P$の値は$P=\fbox{$\mathrm{H}$}$である.ただし,大小$2$個のさいころはそれぞれ$1$から$6$までの目が同様に確からしく出るとする.
(4) $C$と$x$軸の共有点が$2$個であるとき,その共有点の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とする($\alpha<\beta$).$C$と$x$軸の共有点が$2$個であり,かつ$a,\ b$それぞれが$1 \leqq a \leqq 6$,$1 \leqq b \leqq 6$を満たす整数であるとき,$\alpha^2+\beta^2$のとり得る値の最大値と最小値を$\fbox{い}$で求めなさい.
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