長崎大学
2015年 医学部 第2問
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ひし形の紙がある(図$1$).点線で半分に折ると正三角形になった(図$2$).これを少し開いて机の上に立てると,三角錐の形になる(図$3$).その高さを次のようにして求めたい.
\imgc{713_1974_2015_1}
\imgc{713_1974_2015_2}
図$4$において,$2$つの正三角形$\mathrm{OAB}$と$\mathrm{OAC}$の$1$辺の長さを$1$とする.点$\mathrm{O}$と平面$\mathrm{ABC}$の距離が,三角錐$\mathrm{OABC}$の高さになる.空間ベクトルを利用してこの高さを求める.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とおき,線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする.以下の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を,$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ.また,$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ.
(3) 実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと,点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ.さらに,$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき,$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ.
(4) 三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする.$h$を$\cos \theta$を用いて表せ.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき,$\theta$と$h$の値を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OM}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AM}}$を,$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値を求めよ.また,$|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|^2$の値を$\cos \theta$を用いて表せ.
(3) 実数$t$に対して$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OM}}$とおくと,点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にある.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$が成り立つことを示せ.さらに,$\mathrm{H}$が$\overrightarrow{\mathrm{OH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$を満たす点であるとき,$t$の値を$\cos \theta$を用いて表せ.
(4) 三角錐$\mathrm{OABC}$の高さを$h$とする.$h$を$\cos \theta$を用いて表せ.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{OM}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AM}}$が成り立つとき,$\theta$と$h$の値を求めよ.
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コメント(1件)
2015-09-12 17:30:26
解答をよろしくお願いします。 |
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