慶應義塾大学
2012年 理工学部 第4問
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$\mathrm{ABCDE}$を$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし,$4$個の正三角形を側面とする正四角錐とする.
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(1) $\triangle \mathrm{CDE}$の重心を$\mathrm{G}$とする.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表すと,$\overrightarrow{\mathrm{AG}} = \fbox{セ}$となる.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{p}$が平面$\alpha$上の任意のベクトルと垂直なとき,$\overrightarrow{p}$は平面$\alpha$と垂直であるという.$\overrightarrow{p} = a\, \overrightarrow{\mathrm{AB}} + b\, \overrightarrow{\mathrm{AD}} + c\, \overrightarrow{\mathrm{AE}}\ (a,\ b,\ c\text{は実数})$が$\triangle \mathrm{CDE}$を含む平面と垂直なとき,$a:b:c=\fbox{ソ}$である.よって,$|\overrightarrow{p}|=1$かつ$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}} > 0$となるように$a,\ b,\ c$を定めると,$\overrightarrow{p} = \fbox{タ}$となる.
(3) 正四角錐$\mathrm{ABCDE}$の$\triangle \mathrm{CDE}$に,各辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{CDEF}$を貼り付ける.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表すと,$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\fbox{チ}$となる.また,$\mathrm{H}$を辺$\mathrm{EC}$の中点とすると,$\overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}= \fbox{ツ}$であり,$\triangle \mathrm{AHF}$の面積は\fbox{テ}である.
(1) $\triangle \mathrm{CDE}$の重心を$\mathrm{G}$とする.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表すと,$\overrightarrow{\mathrm{AG}} = \fbox{セ}$となる.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{p}$が平面$\alpha$上の任意のベクトルと垂直なとき,$\overrightarrow{p}$は平面$\alpha$と垂直であるという.$\overrightarrow{p} = a\, \overrightarrow{\mathrm{AB}} + b\, \overrightarrow{\mathrm{AD}} + c\, \overrightarrow{\mathrm{AE}}\ (a,\ b,\ c\text{は実数})$が$\triangle \mathrm{CDE}$を含む平面と垂直なとき,$a:b:c=\fbox{ソ}$である.よって,$|\overrightarrow{p}|=1$かつ$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}} > 0$となるように$a,\ b,\ c$を定めると,$\overrightarrow{p} = \fbox{タ}$となる.
(3) 正四角錐$\mathrm{ABCDE}$の$\triangle \mathrm{CDE}$に,各辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{CDEF}$を貼り付ける.ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表すと,$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\fbox{チ}$となる.また,$\mathrm{H}$を辺$\mathrm{EC}$の中点とすると,$\overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}= \fbox{ツ}$であり,$\triangle \mathrm{AHF}$の面積は\fbox{テ}である.
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