茨城大学
2013年 理学部 第1問
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原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上を運動する点$\mathrm{P}(x,\ y)$が
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2t \quad \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
で表されるとき,点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする.($C$は右図のように \\
なっている.)以下の各問に答えよ.
\img{85_2188_2013_1}{40}
(1) 曲線$C$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ.
(2) $\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$のとき,点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ.
(3) $\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$のとき,(2)の接線$\ell$の傾きが負になる$t$の範囲を求めよ.
(4) $t$が(3)で求めた範囲にあるとき,$\ell$と$x$軸,$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とし,三角形$\mathrm{OPQ}$と三角形$\mathrm{OPR}$の面積をそれぞれ$S$と$T$とする.$c=\cos t$として,$S,\ T$をそれぞれ$c$を用いて表せ.
(5) (4)の$S$と$T$について$S=T$が成り立つとき,直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めよ.
(1) 曲線$C$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ.
(2) $\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$のとき,点$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ.
(3) $\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$のとき,(2)の接線$\ell$の傾きが負になる$t$の範囲を求めよ.
(4) $t$が(3)で求めた範囲にあるとき,$\ell$と$x$軸,$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とし,三角形$\mathrm{OPQ}$と三角形$\mathrm{OPR}$の面積をそれぞれ$S$と$T$とする.$c=\cos t$として,$S,\ T$をそれぞれ$c$を用いて表せ.
(5) (4)の$S$と$T$について$S=T$が成り立つとき,直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めよ.
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