福井大学
2016年 医学部 第4問
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![表の出る確率がr,裏の出る確率が1-rであるコインがある.このコインを繰り返し投げ,表の出た回数と裏の出た回数の差の絶対値が2になったときにコイン投げを終了する.ちょうど2n回で終了する確率をp_nとし,2n回以下で終了する確率をq_nとする.ただし,nは正の整数とする.このとき,以下の問いに答えよ.(1)p_nを求めよ.(2)無限級数Σ_{n=1}^∞np_nの和を求めよ.ただし,0≦s<1に対して\lim_{n→∞}ns^n=0であることを用いてもよい.(3)r=1/4のとき,q_n≧0.999となる最小のnを求めよ.必要であれば,log_{10}2=0.3010,log_{10}3=0.4771として計算せよ.](./thumb/366/2546/2016_4.png)
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表の出る確率が$r$,裏の出る確率が$1-r$であるコインがある.このコインを繰り返し投げ,表の出た回数と裏の出た回数の差の絶対値が$2$になったときにコイン投げを終了する.ちょうど$2n$回で終了する確率を$p_n$とし,$2n$回以下で終了する確率を$q_n$とする.ただし,$n$は正の整数とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) $p_n$を求めよ.
(2) 無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty np_n$の和を求めよ.ただし,$0 \leqq s<1$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}ns^n=0$であることを用いてもよい.
(3) $\displaystyle r=\frac{1}{4}$のとき,$q_n \geqq 0.999$となる最小の$n$を求めよ.必要であれば,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ.
(1) $p_n$を求めよ.
(2) 無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty np_n$の和を求めよ.ただし,$0 \leqq s<1$に対して$\displaystyle \lim_{n \to \infty}ns^n=0$であることを用いてもよい.
(3) $\displaystyle r=\frac{1}{4}$のとき,$q_n \geqq 0.999$となる最小の$n$を求めよ.必要であれば,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ.
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