中央大学
2012年 理工(一般) 第4問
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関数$f(x)$の第$n$次導関数を$\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}f(x)$で表す.いま,自然数$n$に対して関数$H_n(x)$を次で定義する.
\[ H_n(x)=(-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2} \]
以下の問いに答えよ.
(1) $H_1(x),\ H_2(x),\ H_3(x)$を求めよ.
(2) 導関数$\displaystyle \frac{d}{dx} H_n(x)$を$H_n(x)$と$H_{n+1}(x)$を用いて表せ.さらに,$n$に関する数学的帰納法により$H_n(x)$が$n$次多項式(整式)であることを証明せよ.
(3) $n \geqq 3$のとき,定積分 \[ S_n(a)=\int_0^a xH_n(x) e^{-x^2} \, dx \] を$H_{n-1}(a)$,$H_{n-2}(a)$,$H_{n-2}(0)$を用いて表せ.ただし,$a$は実数とする.
(4) $n=6$のとき,極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}S_6(a)$を求めよ.
必要ならば,自然数$k$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^k e^{-x^2}=0$が成り立つことを用いてよい.
(1) $H_1(x),\ H_2(x),\ H_3(x)$を求めよ.
(2) 導関数$\displaystyle \frac{d}{dx} H_n(x)$を$H_n(x)$と$H_{n+1}(x)$を用いて表せ.さらに,$n$に関する数学的帰納法により$H_n(x)$が$n$次多項式(整式)であることを証明せよ.
(3) $n \geqq 3$のとき,定積分 \[ S_n(a)=\int_0^a xH_n(x) e^{-x^2} \, dx \] を$H_{n-1}(a)$,$H_{n-2}(a)$,$H_{n-2}(0)$を用いて表せ.ただし,$a$は実数とする.
(4) $n=6$のとき,極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty}S_6(a)$を求めよ.
必要ならば,自然数$k$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^k e^{-x^2}=0$が成り立つことを用いてよい.
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