東京理科大学
2012年 理(数理情報科) 第1問
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$\fbox{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ.
(1) $k$を自然数とすると,不等式 \[ k>\frac{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}{2} \] が成立する.この不等式の右辺の逆数は$\displaystyle \fbox{ア} \left( \sqrt{k}-\sqrt{k-\fbox{イ}} \right)$であるから,不等式 \[ \frac{1}{k}<\fbox{ア} \left( \sqrt{k}-\sqrt{k-\fbox{イ}} \right) \] を得る.この不等式がすべての自然数$k$に対して成立することより, \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=\fbox{ウ} \] であることがわかる.
(2) 自然数$n$に対し, \[ a_n=\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m(m+n+1)},\quad s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \] と定める.
(ⅰ) $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$を求めよ.
(ⅱ) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) s_{n+1}$を求めよ.
(ヒント:$n \geqq 2$であるような各自然数$n$に対して$s_{n+1}-s_n$を考えることにより,$\tokeiichi$の結果が使える形に変形せよ.)
(ⅲ) $n$を自然数とする.また,$p$は自然数で,等式 \[ \sum_{m=1}^{\infty} \left( \frac{1}{m}-\frac{1}{m+n+1} \right)=s_p \] が成立しているとする.このとき,$p$を$n$の$1$次式の形に表せ. [$\tokeishi$] $n$を自然数とし,$p$は$\tokeisan$における通りであるとする.また,$q$は自然数で,等式 \[ a_n=\frac{s_p}{q} \] が成立しているとする.このとき,$q$を$n$の$1$次式の形に表せ. [$\tokeigo$] $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$を求めよ.
(1) $k$を自然数とすると,不等式 \[ k>\frac{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}{2} \] が成立する.この不等式の右辺の逆数は$\displaystyle \fbox{ア} \left( \sqrt{k}-\sqrt{k-\fbox{イ}} \right)$であるから,不等式 \[ \frac{1}{k}<\fbox{ア} \left( \sqrt{k}-\sqrt{k-\fbox{イ}} \right) \] を得る.この不等式がすべての自然数$k$に対して成立することより, \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=\fbox{ウ} \] であることがわかる.
(2) 自然数$n$に対し, \[ a_n=\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m(m+n+1)},\quad s_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \] と定める.
(ⅰ) $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$を求めよ.
(ⅱ) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) s_{n+1}$を求めよ.
(ヒント:$n \geqq 2$であるような各自然数$n$に対して$s_{n+1}-s_n$を考えることにより,$\tokeiichi$の結果が使える形に変形せよ.)
(ⅲ) $n$を自然数とする.また,$p$は自然数で,等式 \[ \sum_{m=1}^{\infty} \left( \frac{1}{m}-\frac{1}{m+n+1} \right)=s_p \] が成立しているとする.このとき,$p$を$n$の$1$次式の形に表せ. [$\tokeishi$] $n$を自然数とし,$p$は$\tokeisan$における通りであるとする.また,$q$は自然数で,等式 \[ a_n=\frac{s_p}{q} \] が成立しているとする.このとき,$q$を$n$の$1$次式の形に表せ. [$\tokeigo$] $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$を求めよ.
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