東北医科薬科大学
2011年 薬学部 第2問
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中心が$\mathrm{O}$で半径$1$の円上の点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$に対し
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+4k \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \quad{(零ベクトル)} \]
を満たす実数$k$が存在するという.このとき,次の問に答えなさい.
(1) 特に$k=0$のとき$\mathrm{AB}=\fbox{ア}$である.
以下$0<k$とする.
(2) $\angle \mathrm{AOB}=\theta$とおく.$0<\theta<\pi$とするとき,$\displaystyle k=\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}} \cos \frac{\theta}{\fbox{エ}}$が成り立つ.
(3) $F=\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2$を$k$の式で表すと \[ F=\fbox{オカキ} k^2+\fbox{ク} k+\fbox{ケ} \] である.
(4) $F$は$\displaystyle k=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}$のとき最大値$\fbox{シ}$をとる.
(1) 特に$k=0$のとき$\mathrm{AB}=\fbox{ア}$である.
以下$0<k$とする.
(2) $\angle \mathrm{AOB}=\theta$とおく.$0<\theta<\pi$とするとき,$\displaystyle k=\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}} \cos \frac{\theta}{\fbox{エ}}$が成り立つ.
(3) $F=\mathrm{AB}^2+\mathrm{BC}^2+\mathrm{CA}^2$を$k$の式で表すと \[ F=\fbox{オカキ} k^2+\fbox{ク} k+\fbox{ケ} \] である.
(4) $F$は$\displaystyle k=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}$のとき最大値$\fbox{シ}$をとる.
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