九州工業大学
2013年 工学部 第3問
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![関数f(x)=logxがある.曲線y=f(x)の点(t,logt)における接線の方程式をy=g(x)とするとき,次に答えよ.ただし,対数は自然対数を表し,eは自然対数の底とする.(1)x>0のとき,不等式f(x)-g(x)≦0を証明せよ.(2)t>1/2のとき,∫_{t-1/2}^{t+1/2}f(x)dxと∫_{t-1/2}^{t+1/2}g(x)dxをそれぞれtを用いて表せ.(3)自然数nに対して,n!と√2(n+1/2)^{n+1/2}e^{-n}の大小を比較せよ.](./thumb/678/3144/2013_3.png)
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関数$f(x)=\log x$がある.曲線$y=f(x)$の点$(t,\ \log t)$における接線の方程式を$y=g(x)$とするとき,次に答えよ.ただし,対数は自然対数を表し,$e$は自然対数の底とする.
(1) $x>0$のとき,不等式$f(x)-g(x) \leqq 0$を証明せよ.
(2) $\displaystyle t>\frac{1}{2}$のとき,$\displaystyle \int_{t-\frac{1}{2}}^{t+\frac{1}{2}}f(x) \, dx$と$\displaystyle \int_{t-\frac{1}{2}}^{t+\frac{1}{2}}g(x) \, dx$をそれぞれ$t$を用いて表せ.
(3) 自然数$n$に対して,$n!$と$\displaystyle \sqrt{2} \left( n+\frac{1}{2} \right)^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}$の大小を比較せよ.
(1) $x>0$のとき,不等式$f(x)-g(x) \leqq 0$を証明せよ.
(2) $\displaystyle t>\frac{1}{2}$のとき,$\displaystyle \int_{t-\frac{1}{2}}^{t+\frac{1}{2}}f(x) \, dx$と$\displaystyle \int_{t-\frac{1}{2}}^{t+\frac{1}{2}}g(x) \, dx$をそれぞれ$t$を用いて表せ.
(3) 自然数$n$に対して,$n!$と$\displaystyle \sqrt{2} \left( n+\frac{1}{2} \right)^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}$の大小を比較せよ.
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