神戸大学
2016年 理系 第4問
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約数,公約数,最大公約数を次のように定める.
\begin{itemize}
$2$つの整数$a,\ b$に対して,$a=bk$をみたす整数$k$が存在するとき,$b$は$a$の約数であるという.
$2$つの整数に共通の約数をそれらの公約数という.
少なくとも一方が$0$でない$2$つの整数の公約数の中で最大のものをそれらの最大公約数という. \end{itemize} 以下の問に答えよ.
(1) $a,\ b,\ c,\ p$は$0$でない整数で$a=pb+c$をみたしているとする.
(ⅰ) $a=18$,$b=30$,$c=-42$,$p=2$のとき,$a$と$b$の公約数の集合$S$,および$b$と$c$の公約数の集合$T$を求めよ.
(ⅱ) $a$と$b$の最大公約数を$M$,$b$と$c$の最大公約数を$N$とする.$M$と$N$は等しいことを示せ.ただし,$a,\ b,\ c,\ p$は$0$でない任意の整数とする.
(2) 自然数の列$\{a_n\}$を \[ a_{n+2}=6a_{n+1}+a_n \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots),\quad a_1=3,\quad a_2=4 \] で定める.
(ⅰ) $a_{n+1}$と$a_n$の最大公約数を求めよ.
(ⅱ) $a_{n+4}$を$a_{n+2}$と$a_n$を用いて表せ.
(ⅲ) $a_{n+2}$と$a_n$の最大公約数を求めよ.
$2$つの整数$a,\ b$に対して,$a=bk$をみたす整数$k$が存在するとき,$b$は$a$の約数であるという.
$2$つの整数に共通の約数をそれらの公約数という.
少なくとも一方が$0$でない$2$つの整数の公約数の中で最大のものをそれらの最大公約数という. \end{itemize} 以下の問に答えよ.
(1) $a,\ b,\ c,\ p$は$0$でない整数で$a=pb+c$をみたしているとする.
(ⅰ) $a=18$,$b=30$,$c=-42$,$p=2$のとき,$a$と$b$の公約数の集合$S$,および$b$と$c$の公約数の集合$T$を求めよ.
(ⅱ) $a$と$b$の最大公約数を$M$,$b$と$c$の最大公約数を$N$とする.$M$と$N$は等しいことを示せ.ただし,$a,\ b,\ c,\ p$は$0$でない任意の整数とする.
(2) 自然数の列$\{a_n\}$を \[ a_{n+2}=6a_{n+1}+a_n \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots),\quad a_1=3,\quad a_2=4 \] で定める.
(ⅰ) $a_{n+1}$と$a_n$の最大公約数を求めよ.
(ⅱ) $a_{n+4}$を$a_{n+2}$と$a_n$を用いて表せ.
(ⅲ) $a_{n+2}$と$a_n$の最大公約数を求めよ.
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