慶應義塾大学
2015年 経済学部 第3問
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実数$\theta$は$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$を満たすとする.$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を原点とする座標空間の$3$点
\[ \mathrm{A}(\cos^2 \theta,\ \sin \theta,\ 1+\sin^2 \theta),\quad \mathrm{B}(\sin \theta,\ 0,\ -\sin \theta),\quad \mathrm{C}(1,\ \cos 2\theta-\cos^2 \theta,\ 1) \]
に対し,それぞれ$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく.
(1) $\overrightarrow{b}$は零ベクトルではないとする.$4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が同一平面上にあるならば,
$\displaystyle \theta=\frac{\fbox{$27$}\fbox{$28$}}{\fbox{$29$}} \pi$である.
次に$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$とし,以下このときの$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を考える.また,$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする.
(2) 点$\mathrm{P}$は$\alpha$上の点で,$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$が最小になるものとする.このとき, \[ \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{b}=\fbox{$30$},\quad \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{c}=\fbox{$31$} \] が成り立つ.また,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表すと \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{\fbox{$32$}\fbox{$33$}}{\fbox{$34$}} \overrightarrow{b}+\frac{\fbox{$35$}\fbox{$36$}}{\fbox{$37$}\fbox{$38$}} \overrightarrow{c} \] となる.ただし,$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$はベクトル$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$の内積を表す.
(3) 三角形$\mathrm{OBC}$の面積は$\displaystyle \frac{1}{8} \sqrt{\frac{\fbox{$39$}\fbox{$40$}}{\fbox{$41$}}}$であり,$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=\displaystyle \sqrt{\frac{\fbox{$42$}}{\fbox{$43$}\fbox{$44$}}}$なので,四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\displaystyle \frac{\fbox{$45$}}{\fbox{$46$}}$となる.
(1) $\overrightarrow{b}$は零ベクトルではないとする.$4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が同一平面上にあるならば,
$\displaystyle \theta=\frac{\fbox{$27$}\fbox{$28$}}{\fbox{$29$}} \pi$である.
次に$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$とし,以下このときの$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を考える.また,$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする.
(2) 点$\mathrm{P}$は$\alpha$上の点で,$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$が最小になるものとする.このとき, \[ \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{b}=\fbox{$30$},\quad \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{c}=\fbox{$31$} \] が成り立つ.また,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$を用いて表すと \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{\fbox{$32$}\fbox{$33$}}{\fbox{$34$}} \overrightarrow{b}+\frac{\fbox{$35$}\fbox{$36$}}{\fbox{$37$}\fbox{$38$}} \overrightarrow{c} \] となる.ただし,$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$はベクトル$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$の内積を表す.
(3) 三角形$\mathrm{OBC}$の面積は$\displaystyle \frac{1}{8} \sqrt{\frac{\fbox{$39$}\fbox{$40$}}{\fbox{$41$}}}$であり,$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=\displaystyle \sqrt{\frac{\fbox{$42$}}{\fbox{$43$}\fbox{$44$}}}$なので,四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\displaystyle \frac{\fbox{$45$}}{\fbox{$46$}}$となる.
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