慶應義塾大学
2015年 総合政策学部 第1問
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次の問いに答えよ.
(1) $\mathrm{AB}=3$,$\mathrm{BC}=4$,$\mathrm{CD}=5$,$\mathrm{DA}=6$をみたす四角形$\mathrm{ABCD}$を考える.この四角形の面積を$F$とすると \[ F=\fbox{$1$}\fbox{$2$} \sin B+\fbox{$3$}\fbox{$4$} \sin D \] が成り立つ.余弦定理を用いれば \[ F^2=\fbox{$5$}\fbox{$6$}\fbox{$7$}-\fbox{$8$}\fbox{$9$}\fbox{$10$} \cos (B+D) \] を得る.$B+D=\pi$のとき,$F$は最大値 \[ 6 \sqrt{\fbox{$11$}\fbox{$12$}} \] をとる.
(2) 辺の長さが$2 \sqrt{3}$の正四面体$F$がある.$F$の内部に中心をもち,$F$のどの辺とも高々$1$点を共有する球を考える.これらの球の中で最大のものを$B$とすれば,$B$の体積は$\fbox{$13$} \sqrt{\fbox{$14$}}\pi$である.
(1) $\mathrm{AB}=3$,$\mathrm{BC}=4$,$\mathrm{CD}=5$,$\mathrm{DA}=6$をみたす四角形$\mathrm{ABCD}$を考える.この四角形の面積を$F$とすると \[ F=\fbox{$1$}\fbox{$2$} \sin B+\fbox{$3$}\fbox{$4$} \sin D \] が成り立つ.余弦定理を用いれば \[ F^2=\fbox{$5$}\fbox{$6$}\fbox{$7$}-\fbox{$8$}\fbox{$9$}\fbox{$10$} \cos (B+D) \] を得る.$B+D=\pi$のとき,$F$は最大値 \[ 6 \sqrt{\fbox{$11$}\fbox{$12$}} \] をとる.
(2) 辺の長さが$2 \sqrt{3}$の正四面体$F$がある.$F$の内部に中心をもち,$F$のどの辺とも高々$1$点を共有する球を考える.これらの球の中で最大のものを$B$とすれば,$B$の体積は$\fbox{$13$} \sqrt{\fbox{$14$}}\pi$である.
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