滋賀医科大学
2011年 医学部 第3問
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文字$x,\ y,\ z$の任意の整式$A$に対して,$x,\ y,\ z$をそれぞれ$\sin \theta,\ \cos \theta,\ \tan \theta$に置き換えて得られる$\theta$の関数を$\widetilde{A}(\theta)$で表す.例えば,
\[ \begin{array}{lll}
P=x^5+z^4-xyz & \text{ならば} & \widetilde{P}(\theta)=\sin^5 \theta+\tan^4 \theta-\sin \theta \cos \theta \tan \theta, \\
P=x^2+y^2,\ Q=1 & \text{ならば} & \widetilde{P}(\theta)=\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1=\widetilde{Q}(\theta)
\end{array} \]
である.ただし$\theta$の関数の定義域は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq 2\pi,\ \theta \neq \frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}$とする.
(1) $P$を$x,\ y,\ z$の整式とする.$\widetilde{P}(\theta)=\widetilde{Q}(\theta)$となる$y,\ z$の整式$Q$が存在することを示せ.
(2) $P$を$x,\ y,\ z$の整式とする.$\widetilde{P}(0)=\widetilde{P}(\pi)$ならば,$\widetilde{P}(\theta)=\widetilde{Q}(\theta)$となる$x,\ z$の整式$Q$が存在することを示せ.
(3) $P$を$x,\ y,\ z$の整式とする.$\displaystyle \theta \to \frac{\pi}{2}$のとき,および$\displaystyle \theta \to \frac{3\pi}{2}$のとき,$\widetilde{P}(\theta)$がそれぞれ収束するならば,$\widetilde{P}(\theta)=\widetilde{Q}(\theta)$となる$x,\ y$の整式$Q$が存在することを示せ.収束とは,一定の実数に限りなく近づくことである.
(1) $P$を$x,\ y,\ z$の整式とする.$\widetilde{P}(\theta)=\widetilde{Q}(\theta)$となる$y,\ z$の整式$Q$が存在することを示せ.
(2) $P$を$x,\ y,\ z$の整式とする.$\widetilde{P}(0)=\widetilde{P}(\pi)$ならば,$\widetilde{P}(\theta)=\widetilde{Q}(\theta)$となる$x,\ z$の整式$Q$が存在することを示せ.
(3) $P$を$x,\ y,\ z$の整式とする.$\displaystyle \theta \to \frac{\pi}{2}$のとき,および$\displaystyle \theta \to \frac{3\pi}{2}$のとき,$\widetilde{P}(\theta)$がそれぞれ収束するならば,$\widetilde{P}(\theta)=\widetilde{Q}(\theta)$となる$x,\ y$の整式$Q$が存在することを示せ.収束とは,一定の実数に限りなく近づくことである.
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