三角形$\mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき，三角形$\mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{P}$を$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{1}{4} \overrightarrow{b}+\frac{1}{2} \overrightarrow{c}$を満たすようにとる．また，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{BP}$と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{CP}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2) 線分の長さの比$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}$，$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}$をそれぞれ求めよ．
(3) 次の問いに答えよ．
(ⅰ) 点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の垂心であるとする．すなわち，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CF}}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BE}}$が成り立っている．このとき，$|\overrightarrow{b|}:|\overrightarrow{c|}$および$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(ⅱ) 点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の外心になることがあるかどうかを調べよ．