広島市立大学
2014年 理系 第3問
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四面体$\mathrm{OABC}$は，$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}$，$\mathrm{OB}=\mathrm{AC}$，$\mathrm{OC}=\mathrm{AB}$を満たしているとし，$\mathrm{OA}=a$，$\mathrm{OB}=b$，$\mathrm{OC}=c$とおく．三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{OAC}$の重心をそれぞれ$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BH}}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3) $\mathrm{OG} \perp \mathrm{BH}$であるとき，$a^2+c^2=3b^2$が成り立つことを示せ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BH}}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3) $\mathrm{OG} \perp \mathrm{BH}$であるとき，$a^2+c^2=3b^2$が成り立つことを示せ．
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