$1$辺の長さが$1$である正四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{R}$，$\mathrm{OC}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$をそれぞれ求めよ．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{PR}}$および$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3) $\overrightarrow{\mathrm{PR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QS}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\theta$は鋭角，直角，鈍角のいずれであるかを調べよ．
(4) 線分$\mathrm{PR}$と線分$\mathrm{QS}$は交点をもつかどうかを調べよ．