山形大学
2014年 医学部 第2問
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![三角形ABCの各辺AB,BC,CAを1:2に内分する点をそれぞれP,Q,Rとする.AQとCPの交点をS,BRとAQの交点をT,CPとBRの交点をUとする.ベクトルAB=ベクトルb,ベクトルAC=ベクトルcとするとき,次の問に答えよ.(プレビューでは図は省略します)(1)ベクトルAQをベクトルb,ベクトルcを用いて表せ.(2)点Qを通り辺ACと平行な直線と,BRの交点をVとするとき,ベクトルVQをベクトルcを用いて表せ.(3)ベクトルATをベクトルb,ベクトルcを用いて表せ.(4)ベクトルASをベクトルb,ベクトルcを用いて表せ.(5)|ベクトルb|=1,|ベクトルc|=√3,∠BAC={90}°であるとき,|ベクトルST|,|ベクトルSU|,∠TSUおよび三角形STUの面積を求めよ.](./thumb/72/2151/2014_2.png)
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三角形$\mathrm{ABC}$の各辺$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$を$1:2$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とする.$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{S}$,$\mathrm{BR}$と$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{T}$,$\mathrm{CP}$と$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{U}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とするとき,次の問に答えよ.
\imgc{72_2157_2014_1}
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) 点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と,$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(4) $\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(5) $|\overrightarrow{b}|=1$,$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$,$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき,$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$,$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$,$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(2) 点$\mathrm{Q}$を通り辺$\mathrm{AC}$と平行な直線と,$\mathrm{BR}$の交点を$\mathrm{V}$とするとき,$\overrightarrow{\mathrm{VQ}}$を$\overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{AT}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(4) $\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(5) $|\overrightarrow{b}|=1$,$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{3}$,$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$であるとき,$|\overrightarrow{\mathrm{ST}}|$,$|\overrightarrow{\mathrm{SU}}|$,$\angle \mathrm{TSU}$および三角形$\mathrm{STU}$の面積を求めよ.
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